Question

9．如图，过抛物线${C_1}：{x^2}=2py$上的一点Q与抛物线${C_2}：{x^2}=-2py$相切于A，B两点．若抛物线${C_1}：{x^2}=2py$的焦点F₁到抛物线${C_2}：{x^2}=-2py$的焦点F₂的距离为$\frac{1}{2}$
（Ⅰ）求抛物线C₁的方程；
（Ⅱ）求证：直线AB与抛物线C₁相切于一点P．

Answer 1

分析 （Ⅰ）确定抛物线的焦点坐标，即可求抛物线C₁的方程；
（Ⅱ）求出直线AQ的方程、BQ的方程，AB的方程，即可证明直线AB与抛物线C₁相切于一点P．

解答 （I）解：设抛物线C₁的焦点坐标为${F_1}（0，\frac{p}{2}）$，…（2分）
抛物线C₂的焦点坐标为${F_2}（0，-\frac{p}{2}）$…（4分）
则$|{F_1}{F_2}|=p=\frac{1}{2}$…（5分）
所以抛物线C₁的方程为：y=x²．…（6分）
（II）证明：设点$Q（{x_0}，x_0^2）$，$A（{x_1}，-x_1^2），B（{x_2}，-x_2^2）$
切线AQ的方程是：$y+x_1^2={k_1}（x-{x_1}）$，因为AQ与抛物线${C_1}：y={x^2}$相切，
则${x^2}+{k_1}x-{k_1}{x_1}-x_1^2=0$，
则${△_1}=k_1^2+4{k_1}{x_1}+4x_1^2=0$，则k₁=-2x₁，…（8分）
∴直线AQ的方程是：$y=-2{x_1}x+x_1^2$，
同理BQ的方程是：$y=-2{x_2}x+x_2^2$．…（9分）
联立可以得到：$\left\{\begin{array}{l}{x_1}+{x_2}=2{x_0}\\{x_1}{x_2}=-x_0^2\end{array}\right.$．…（11分）
而直线AB的方程是：y=-（x₁+x₂）x+x₁x₂，即$y=-2{x_0}x-x_0^2$，…（13分）
联立${C_1}：y={x^2}$，可以得到：${x^2}+2{x_0}x+x_0^2=0$，${△_2}=4x_0^2-4x_0^2=0$，
则直线AB与抛物线${C_1}：y={x^2}$相切．…（15分）

点评 本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．