Question

20．设数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=10，a_n+1=9S_n+10．
（Ⅰ）求证：{lga_n}是等差数列；
（Ⅱ）设T_n是数列$\{\frac{3}{{（lg{a_n}）（lg{a_{n+1}}）}}\}$的前n项和，求T_n；
（Ⅲ）若${T_n}＞\frac{1}{2}（{m^2}-5m）$在n∈N^*上有解，求整数m的取值集合．

Answer 1

分析 （1）a_n+1=9S_n+10，则当n≥2时，a_n=9S_n-1+10，相减化为a_n+1=10a_n，可得lga_n+1-lga_n=1，即可证明；
（II）由（I）可得：lga_n=n．$\frac{3}{lg{a}_{n}lg{a}_{n+1}}$=$\frac{3}{n（n+1）}$=3$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．利用“裂项求和”即可得出．
（III）由${T_n}＞\frac{1}{2}（{m^2}-5m）$在n∈N^*上有解，$\frac{1}{2}（{m}^{2}-5m）$＜（T_n）_max，而T_n＜3，可得$\frac{1}{2}（{m}^{2}-5m）$＜3，解出即可．

解答 （1）证明：∵a_n+1=9S_n+10，
∴当n≥2时，a_n=9S_n-1+10，可得a_n+1-a_n=9a_n，化为a_n+1=10a_n，
∴lga_n+1-lga_n=1，lga₁=1．
∴{lga_n}是等差数列，首项为1，公差为1．
（II）解：由（I）可得：lga_n=1+（n-1）=n．
∴$\frac{3}{lg{a}_{n}lg{a}_{n+1}}$=$\frac{3}{n（n+1）}$=3$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．
∴T_n=$3[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$
=3$（1-\frac{1}{n+1}）$=$\frac{3n}{n+1}$．
（III）∵${T_n}＞\frac{1}{2}（{m^2}-5m）$在n∈N^*上有解，
∴$\frac{1}{2}（{m}^{2}-5m）$＜（T_n）_max，
∵T_n＜3，
∴$\frac{1}{2}（{m}^{2}-5m）$＜3，
解得-1＜m＜6，
∴整数m的取值集合为{0，1，2，3，4，5}．

点评 本题考查了递推关系的应用、等差数列的通项公式、“裂项求和”方法、对数的运算性质、不等式的性质，考查了转化能力、推理能力与计算能力，属于中档题．