题目内容

10．若$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{3}-3{a}^{2}+4a=2016}\\{{b}^{3}-3{b}^{2}+4b=-2012}\end{array}\right.$，求a+b的值．

分析 设f（x）=x3-3x2+4x，求出导数，判断单调性，计算f（x）+f（2-x）=4，可得函数f（x）关于点（1，2）对称．由f（a）+f（b）=4，可得a+b的值．

解答 解：设f（x）=x3-3x2+4x，
可得f′（x）=3x2-6x+4=3（x-1）2+1＞0，
即有f（x）在R上递增，
又f（2-x）=（2-x）3-3（2-x）2+4（2-x），
可得f（x）+f（2-x）=（x+2-x）[x2+（2-x）2-x（2-x）]-3[x2+（2-x）2]+8
=2（3x2-6x+4）-3（2x2-4x+4）+8=4，
即函数f（x）关于点（1，2）对称．
由f（a）+f（b）=a3-3a2+4a+（b3-3b2+4b）=2016-2012=4，
可得f（b）=f（2-a），即有b=2-a，
则a+b=2．

点评 本题考查两数和的求法，注意运用构造函数法，运用导数判断单调性，以及函数的对称性，判断f（x）关于点（1，2）对称是解题的关键，属于中档题．

练习册系列答案
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20．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2cosφ\\ y=2+2sinφ\end{array}$（φ为参数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=4$\sqrt{3}$cosθ．
（Ⅰ）求C1与C2交点的直角坐标；
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1．已知项数相同的等比数列{an}和{bn}，公比为q1，q2（q1，q2≠1），则下列数列①{3an}；②{$\frac{2}{{a}_{n}}$}；③{3${\;}^{{a}_{n}}$}；④{2an-3bn}；⑤{2an•3bn}中为等比数列的个数是（　　）
A．1B．2C．3D．4
18．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-4+cost}\\{y=3+sint}\end{array}\right.$（t为参数），以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=-$\frac{6}{\sqrt{1+8si{n}^{2}θ}}$．
（1）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；
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5．已知点A（-4，-3），B（2，9），圆C是以线段AB为直径的圆．
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（2）设点P（0，2）则求圆内以P为中点的弦所在的直线l0的方程．
15．若点（1，a）到直线y=x+1的距离是$\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$，则实数a为（　　）
A．-1B．5C．-1或5D．-3或3
2．若函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，且在区间（-∞，0]上是减函数，则不等式f（lnx）＜-f（1）的解集为（　　）
A．（e，+∞）B．（${\frac{1}{e}$，+∞）C．（${\frac{1}{e}$，e）D．（0，$\frac{1}{e}$）
19．调查200名50岁以上有吸烟习惯与患慢性气管炎的人的情况，获数据如表
患慢性气管炎未患慢性气管炎总计
吸烟s30100
不吸烟35t100
合计10595200
（1）表中s，t的值分别是多少；
（2）试问：有吸烟习惯与患慢性气管炎病是否有关？
20．双曲线9x2-4y2=36的离心率为$\frac{\sqrt{13}}{2}$．

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