Question

7．若sinθ+cosθ=k，且sin³θ+cos³θ＜0，求k的取值范围．

Answer 1

分析 由平方关系、二倍角的正弦公式化简sinθ+cosθ=k，求出sinθcosθ的表达式，利用立方和公式化简sin³θ+cos³θ，根据sin³θ+cos³θ＜0列出不等式并化简，由两角和的正弦公式化简sinθ+cosθ=k，由正弦函数的值域求出k的取值范围，结合原来的不等式求出答案．

解答 解：由sinθ+cosθ=k得，sin²θ+2sinθcosθ+cos²θ=k²，
解得sinθcosθ=$\frac{{k}^{2}-1}{2}$，
∴sin³θ+cos³θ=（sinθ+cosθ）（sin²θ-sinθcosθ+cos²θ）
=k（1-$\frac{{k}^{2}-1}{2}$）=$\frac{1}{2}$k（3-k²），
∵sin³θ+cos³θ＜0，∴k（3-k²）＜0，即k（k²-3）＞0，
又k=sinθ+cosθ=$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$），则$k∈[-\sqrt{2}，\sqrt{2}]$，
∴k²-3＜0，∴k＜0，
即k的取值范围是$[-\sqrt{2}，0）$．

点评 本题考查正弦函数的值域，平方关系、二倍角的正弦公式，以及立方和公式的应用，考查化简、变形能力．