Question

【题目】已知抛物线的对称轴为坐标轴，顶点是坐标原点，准线方程为 ，直线 与抛物线相交于不同的 ， 两点．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）如果直线 过抛物线的焦点，求 的值；
（3）如果 ，直线 是否过一定点，若过一定点，求出该定点；若不过一定点，试说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：已知抛物线的对称轴为坐标轴，顶点是坐标原点，准线方程为 ，
所以 ， ．
∴抛物线的标准方程为
（2）解：设 ： ，与 联立，得 ，
设 ， ，∴ ， ，
∴
（3）解：假设直线 过定点，设 ： 与 联立，得 ，
设 ， ，∴ ， ．
由 ，解得 ，
∴ ： 过定点
【解析】（1）求解抛物线标准方程，首先要根据题目条件确定抛物线的种类，为开口向右的抛物线；再由准线方程可得 =- 1，即可确定抛物线的方程。
（2）要求.，设 A(x1,y1)，B(x2,y2)，即求x1x2+y1y2的值，故要联立直线AB和抛物线。已知直线AB过焦点（1,0），斜率不为0且可以不存在，故设直线方程为my=x1，联立方程组，得到一元二次方程，再利用韦达定理和换元法即可求得x1x2+y1y2的值。
（3）利用反证法，假设存在并试图求解，若无解即为不存在；直线AB与抛物线必有两焦点，故可设直线为my=x+n，联立方程组得到一元二次方程，再用韦达定理得到.=4=n2+4n，求得n=-2。