Question

【题目】已知函数，其函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为.

（1）求函数的解析式及对称中心；

（2）将函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到函数的图象，若关于的方程在区间上有两个不相等的实根，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1） （2）

【解析】分析：（1）将函数化为后再求对称中心．（2）由题意得，且，令后可将问题转化为关于的方程在区间上仅有一个实数根求解，然后根据方程根的分布可得所求结果．

详解：（1）由题意得

．

∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，

∴，

∴

sin()

由，

得，

．

(2)由题意知，

∵，

∴．

设．

∵关于的方程在区间上有两个不相等的实根，

∴关于的方程在区间上仅有一个实数根．

令H(t)=， ，

则函数H(t)的图象为开口向上的抛物线，且过定点（0,2）．

故由条件可得H()=9+，

解得，

∴实数的取值范围为．