Question

16．已知a为正的常数，函数g（x）=|x-a|+$\frac{lnx}{x}$，x∈[1，e]，则g（x）的最小值为g（x）_min=$\left\{\begin{array}{l}{1-a，0＜a≤1}\\{\frac{lna}{a}，1＜a≤e}\\{a-e+\frac{1}{e}，a＞e}\end{array}\right.$（e≈2.71828为自然对数的底数，写成分段函数形式）

Answer 1

分析 对a讨论，分当0＜a≤1时，当1＜a≤e时，当a＞e时，去掉绝对值，求得导数，判断单调性，即可得到所求最小值．

解答 解：①当0＜a≤1时，函数g（x）=|x-a|+$\frac{lnx}{x}$=x-a+$\frac{lnx}{x}$，x∈[1，e]，
导数为g′（x）=1+$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，由x∈[1，e]，可得lnx∈[0，1]，x²∈[1，e²]，
即有g′（x）＞0，g（x）递增，可得g（x）_min=g（1）=1-a；
②当1＜a≤e时，当x≥a时，g（x）=x-a+$\frac{lnx}{x}$，x∈[1，e]，
导数为g′（x）=1+$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，可得g（x）在（a，e）递增；
当x＜a时，g（x）=a-x+$\frac{lnx}{x}$，x∈[1，e]，
导数为g′（x）=-1+$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，可得g（x）在（1，a）递减．
即有g（x）在x=a处取得最小值g（a）=$\frac{lna}{a}$；
③当a＞e时，g（x）=a-x+$\frac{lnx}{x}$，x∈[1，e]，
导数为g′（x）=-1+$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，可得g（x）在[1，e]递减．
即有g（x）在x=e处取得最小值g（e）=a-e+$\frac{1}{e}$．
综上可得，g（x）_min=$\left\{\begin{array}{l}{1-a，0＜a≤1}\\{\frac{lna}{a}，1＜a≤e}\\{a-e+\frac{1}{e}，a＞e}\end{array}\right.$．
故答案为：$\left\{\begin{array}{l}{1-a，0＜a≤1}\\{\frac{lna}{a}，1＜a≤e}\\{a-e+\frac{1}{e}，a＞e}\end{array}\right.$．

点评 本题考查函数的最值的求法，注意运用分类讨论的思想方法，以及绝对值的意义和导数的运用：求单调区间和最值，考查化简整理的运算能力，属于中档题．