Question

4．已知直线l的参数方程是$\left\{{\begin{array}{l}{x=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\\{y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t+4\sqrt{2}}\end{array}}$（t是参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为ρ=4cos（θ+$\frac{π}{4}$）．
（1）判断直线l与曲线C的位置关系；
（2）过直线l上的点作曲线C的切线，求切线长的最小值．

Answer 1

分析 （1）分别求出直线和曲线的普通方程，根据点到直线的距离，求出直线l与曲线C的位置关系；
（2）根据点到直线的距离求出直线l上的点向圆C引的切线长的最小值即可．

解答 解：（1）直线l方程：y=x+4$\sqrt{2}$，ρ=4cos（θ+$\frac{π}{4}$）=2$\sqrt{2}$cosθ-2$\sqrt{2}$sinθ，
∴ρ²=2$\sqrt{2}$ρcosθ-2$\sqrt{2}$sinθ，
∴圆C的直角坐标方程为x²+y²-2$\sqrt{2}$x+2$\sqrt{2}$y=0，
即${（x-\sqrt{2}）}^{2}$+${（y+\sqrt{2}）}^{2}$=4，
∴圆心（$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$）到直线l的距离为d=6＞2，故直线与圆相离．（5分）
（2）直线l的参数方程化为普通方程为x-y+4$\sqrt{2}$=0，
则圆心C到直线l的距离为$|\frac{\sqrt{2}+\sqrt{2}+4\sqrt{2}}{\sqrt{2}}|$=6，
∴直线l上的点向圆C引的切线长的最小值为$\sqrt{{6}^{2}{-2}^{2}}$=4$\sqrt{2}$．（10分）

点评 本题考查了参数方程、极坐标方程转化为普通方程，考查直线和圆的位置关系，考查切线问题，是一道中档题．