Question

15．已知a、b、c三个实数成等差数列，则直线bx+ay+c=0与抛物线${y^2}=-\frac{1}{2}x$的相交弦中点的轨迹方程是x+1=-（2y-1）²（y≠1）．．

Answer 1

分析 联立方程组，用交点坐标表示出中点坐标，代入直线方程化简即可．

解答 解：设直线bx+ay+c=0与抛物线${y^2}=-\frac{1}{2}x$的交点坐标为A（-2y₁²，y₁），B（-2y₂²，y₂），
把x=-2y²代入直线方程bx+ay+c=0得：-2by²+ay+c=0，
∴y₁y₂=$\frac{c}{-2b}$，y₁+y₂=$\frac{a}{2b}$，
∵a，b，c成等差数列，∴c=2b-a，
∴y₁y₂=$\frac{2b-a}{-2b}$=$\frac{a}{2b}$-1，
设AB的中点为P（x，y），则x=-y₁²-y₂²=-（y₁+y₂）²+2y₁y₂=-$\frac{{a}^{2}}{4{b}^{2}}$+$\frac{a}{b}$-2，
y=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=$\frac{a}{4b}$，
∴x=-4y²+4y-2，即x+1=-（2y-1）²，
由△=a²+8bc=a²+8b（2b-a）=a²-8ab+16b²=（a-4b）²＞0得a≠4b，
∴y≠1．
故答案为：x+1=-（2y-1）²（y≠1）．

点评 本题考查了轨迹方程的求解，根与系数的关系，属于中档题．