Question

10．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1（a，b＞0）$，过x轴上点P的直线与双曲线的右支交于M，N两点（M在第一象限），直线MO交双曲线左支于点Q（O为坐标原点），连接QN．若∠MPO=60°，∠MNQ=30°，则该双曲线的离心率为$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由题意可得M，Q关于原点对称，即可得到k_MN•k_QN=$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$，分别求出相对应的斜率，再根据离心率公式即可求出

解答 解：由题意可知：M，Q关于原点对称，
∴k_MN•k_QN=$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$，
∵k_MN=-$\sqrt{3}$，k_QN=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=1，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{2}$
故答案为：$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了双曲线的简单性质以及离心率的计算，属于中档题．