Question

当x∈（-1，3）时不等式的x²+ax-2＜0恒成立，则a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,二次函数的性质,一元二次不等式的解法

专题：分类讨论,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：法一：通过分类讨论、分离参数，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出；
法二：当x∈（-1，3）时不等式的x²+ax-2＜0恒成立?

f(-1)≤0 f(3)≤0

，解出即可．

解答： 解：法一：①当x=0时，不等式的x²+ax-2＜0化为-2＜0，对于?a∈R恒成立；
②当0＜x＜3时，不等式的x²+ax-2＜0化为a＜

2-x2

x

，
令f（x）=

2-x2

x

=

2

x

-x，则f′(x)=-

2

x2

-1＜0，∴f（x）在区间（0，3）上单调递减，∴f（x）＞f（3）=

2-32

3

=-

7

3

，由不等式的x²+ax-2＜0恒成立?a＜[f（x）]_min，∴a≤-

7

3

；
③当x∈（-1，0）时，不等式的x²+ax-2＜0化为a＞

2-x2

x

，类比②可得：a≥-1．
综上可知：a的取值范围是∅．
法二：当x∈（-1，3）时不等式的x²+ax-2＜0恒成立?

f(-1)≤0 f(3)≤0

，此不等式组的解集是∅．
故答案为：∅．

点评：本题考查了分类讨论、分离参数法、利用导数研究其单调性极值与最值、二次函数的性质，属于中档题．