Question

已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．
（1）用向量法证明E，F，G，H（2）四点共面；
（2）用向量法证明：BD∥平面EFGH；
（3）设M是EG和FH的交点，求证：对空间任一点O，有．

Answer 1

【答案】分析：（1）用向量的加法求出，即可证明E，F，G，H（2）四点共面；
（2）用向量表示，就证明EH∥BD，又EH?面EFGH，BD不在 面EFGH，所以BD∥平面EFGH；
（3）M是EG和FH的交点，利用推出EG、FH交于一点M且被M平分，然后推出．
解答：证明：（1）连接BG，则
=
由共面向量定理的推论知：E、F、G、H四点共面，（其中）
（2）因为．
所以EH∥BD，又EH?面EFGH，BD不在 面EFGH
所以BD∥平面EFGH．
（3）连接OM，OA，OB，OC，OD，OE，OG
由（2）知，同理，所以，
EH∥FG，EH=FG，所以EG、FH交于一点M且被M平分，
所以
=
点评：本题考查向量语言表述线面的垂直、平行关系，共线向量与共面向量，考查运算能力，是中档题．