题目内容
已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．（1）用向量法证明E，F，G，H（2）四点共面；
（2）用向量法证明：BD∥平面EFGH；
（3）设M是EG和FH的交点，求证：对空间任一点O，有
| OM |
| 1 |
| 4 |
| OA |
| OB |
| OC |
| OD |
分析：（1）用向量的加法求出
=
+
，即可证明E，F，G，H（2）四点共面；
（2）用向量表示
=
，就证明EH∥BD，又EH?面EFGH，BD不在 面EFGH，所以BD∥平面EFGH；
（3）M是EG和FH的交点，利用
=
推出EG、FH交于一点M且被M平分，然后推出
=
(
+
+
+
)．
| EG |
| EF |
| EH |
（2）用向量表示
| EH |
| 1 |
| 2 |
| BD |
（3）M是EG和FH的交点，利用
| EH |
| 1 |
| 2 |
| BD |
| OM |
| 1 |
| 4 |
| OA |
| OB |
| OC |
| OD |
解答：证明：（1）连接BG，则
=
+
=
+
(
+
)=
+
+
=
+
由共面向量定理的推论知：E、F、G、H四点共面，（其中
=
）
（2）因为
=
-
=
-
=
(
-
)=
．
所以EH∥BD，又EH?面EFGH，BD不在 面EFGH
所以BD∥平面EFGH．
（3）连接OM，OA，OB，OC，OD，OE，OG
由（2）知
=
，同理
=
，所以
=
，
EH∥FG，EH=FG，所以EG、FH交于一点M且被M平分，
所以
=
(
+
)=
[
(
+
)+
(
+
)]
=
(
+
+
+
)
| EG |
| EB |
| BG |
| EB |
| 1 |
| 2 |
| BC |
| BD |
| EB |
| BF |
| EH |
| EF |
| EH |
由共面向量定理的推论知：E、F、G、H四点共面，（其中
| 1 |
| 2 |
| BD |
| EH |
（2）因为
| EH |
| AH |
| AE |
| 1 |
| 2 |
| AD |
| 1 |
| 2 |
| AB |
| 1 |
| 2 |
| AD |
| AB |
| 1 |
| 2 |
| BD |
所以EH∥BD，又EH?面EFGH，BD不在 面EFGH
所以BD∥平面EFGH．
（3）连接OM，OA，OB，OC，OD，OE，OG
由（2）知
| EH |
| 1 |
| 2 |
| BD |
| FG |
| 1 |
| 2 |
| BD |
| EH |
| FG |
EH∥FG，EH=FG，所以EG、FH交于一点M且被M平分，
所以
| OM |
| 1 |
| 2 |
| OE |
| OG |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| OA |
| OB |
| 1 |
| 2 |
| OC |
| OD |
=
| 1 |
| 4 |
| OA |
| OB |
| OC |
| OD |
点评：本题考查向量语言表述线面的垂直、平行关系，共线向量与共面向量，考查运算能力，是中档题．
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=
（
+
+
+
）.