Question

已知，命题：对任意，不等式恒成立；命题：存在，使得成立
（Ⅰ）若为真命题，求的取值范围；
（Ⅱ）当，若且为假，或为真，求的取值范围。
（Ⅲ）若且是的充分不必要条件，求的取值范围。

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）或；（Ⅲ）。

试题分析：（Ⅰ）∵对任意，不等式恒成立
∴.....................1分
即.........................2分
解得..............................3分
即为真命题时，的取值范围是.......................4分
（Ⅱ）∵，且存在，使得成立
∴
即命题满足................5分
∵且为假，或为真
∴、一真一假...........................6分
当真假时，则
，即.......................7分
当假真时，则
，即......................8分
综上所述，或（也可写为）......................9分
（Ⅲ）∵存在，使得成立
∴命题满足...........................10分
∵是的充分不必要条件
∴.......................12分
点评：若恒成立，只需；若恒成立，则只需。