Question

5．已知椭圆C₁：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）过点$（2，\sqrt{3}）$，且它的离心率e=$\frac{1}{2}$．直线l：y=kx+t与椭圆C₁交于M、N两点．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若直线l与圆C₂：（x-1）²+y²=1相切，椭圆上一点P满足$\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}=λ\overrightarrow{OP}$，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用椭圆C₁：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）过点$（2，\sqrt{3}）$，且它的离心率e=$\frac{1}{2}$，求出a，b，即可求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）因为直线l：y=kx+t与圆（x-1）²+y²=1相切，所以2k=$\frac{1-{t}^{2}}{t}$，把y=kx+t代入$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{6}=1$，得：（3+4k²）x²+8ktx+4t²-24=0，由此能求出实数λ的取值范围．

解答 解：（Ⅰ） 由已知得：$\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{3}{{b}^{2}}$=1，$\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{4}$，解得a=2$\sqrt{2}$，b=$\sqrt{6}$，
所以椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{6}=1$．
因为直线l：y=kx+t与圆（x-1）²+y²=1相切，
所以$\frac{|t+k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，2k=$\frac{1-{t}^{2}}{t}$，t≠0，
把y=kx+t代入$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{6}=1$，并整理得：（3+4k²）x²+8ktx+4t²-24=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则有x₁+x₂=-$\frac{8kt}{3+4{k}^{2}}$，
y₁+y₂=kx₁+t+kx₂+t=k（x₁+x₂）+2t=$\frac{6t}{3+4{k}^{2}}$
因为λ$\overrightarrow{OP}$=（x₁+x₂，y₁+y₂），
所以P（$\frac{-8kt}{（3+4{k}^{2}）λ}$，$\frac{6t}{（3+4{k}^{2}）λ}$），
又因为点C在椭圆上，所以代入整理可得λ²=$\frac{2{t}^{2}}{3+4{k}^{2}}$=$\frac{2}{（\frac{1}{{t}^{2}}）^{2}+\frac{1}{{t}^{2}}+1}$
因为t²＞0，所以$（\frac{1}{{t}^{2}}）^{2}+\frac{1}{{t}^{2}}+1＞1$，
所以0＜λ²＜2，所以λ的取值范围为（-$\sqrt{2}$，0）∪（0，$\sqrt{2}$）．

点评 本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、椭圆方程的求解，考查平面向量的运算、直线与圆相切及韦达定理，考查学生综合运用知识分析解决问题的能力，对能力要求高．