Question

11．已知数列{a_n}的前n项和S_n=n²-n，数列{b_n}的前n项和T_n=4-b_n．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=$\frac{1}{2}$a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项和R_n的表达式．

Answer 1

分析 （1）利用递推关系可得a_n；利用递推关系与等比数列的通项公式可得b_n．
（2）利用“错位相减法”、等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）∵数列{a_n}的前n项和S_n=n²-n，
∴n=1时，a₁=0；
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²-n-[（n-1）²-（n-1）]=2n-2，
n=1时也成立，
∴a_n=2n-2．
∵数列{b_n}的前n项和T_n=4-b_n，
∴n=1时，b₁=4-b₁，解得b₁=2．
n≥2时，b_n=T_n-T_n-1=4-b_n-（4-b_n-1），化为：b_n=$\frac{1}{2}{b}_{n-1}$．
∴数列{b_n}是等比数列，首项为2，公比为$\frac{1}{2}$．
∴b_n=$2×（\frac{1}{2}）^{n-1}$=$（\frac{1}{2}）^{n-2}$．
（2）c_n=$\frac{1}{2}$a_n•b_n=$\frac{1}{2}×$（2n-2）×$（\frac{1}{2}）^{n-2}$=（n-1）×$（\frac{1}{2}）^{n-2}$．
∴数列{c_n}的前n项和R_n=0+1+2×$\frac{1}{2}$+3×$（\frac{1}{2}）^{2}$+…+（n-1）×$（\frac{1}{2}）^{n-2}$．
$\frac{1}{2}{R}_{n}$=$\frac{1}{2}$+2×$（\frac{1}{2}）^{2}$+…+（n-2）×$（\frac{1}{2}）^{n-2}$+（n-1）×$（\frac{1}{2}）^{n-1}$，
∴$\frac{1}{2}$R_n=1+$\frac{1}{2}+$$（\frac{1}{2}）^{2}$+…+$（\frac{1}{2}）^{n-2}$-（n-1）×$（\frac{1}{2}）^{n-1}$=$\frac{1-（\frac{1}{2}）^{n-1}}{1-\frac{1}{2}}$-（n-1）×$（\frac{1}{2}）^{n-1}$=2-（n+1）×$（\frac{1}{2}）^{n-1}$．
∴R_n=4-（n+1）×$（\frac{1}{2}）^{n-2}$．

点评 本题考查了“错位相减法”、等比数列的通项公式与求和公式、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．