Question

18．如图，是某几何体的三视图和直观图，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，点P在棱BC上，且AP∥平面CDE．
（Ⅰ）求点P到平面CDE的距离；
（Ⅱ）求二面角A-CD-E的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）以B为原点，BA为x轴，BE为y轴，BC为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点P到平面CDE的距离．
（Ⅱ）求出平面ACD的法向量和平面CDE的法向量，利用向量法能求出二面角A-CD-E的大小．

解答 解：（Ⅰ）由几何体的三视图和直观图得到BC⊥平面ABED，ABED是直角梯形，AD∥BE，AB⊥BE
AB=AD=EF=4，BE=CF=8，
以B为原点，BA为x轴，BE为y轴，BC为z轴，建立空间直角坐标系，
A（4，0，0），C（0，0，4），D（4，4，0），E（0，8，0），设P（0，0，t），0≤t≤4，
则$\overrightarrow{AP}$=（-4，0，t），$\overrightarrow{CD}$=（4，4，-4），$\overrightarrow{CE}$=（0，8，-4），
设平面CDE的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CD}=4x+4y-4z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CE}=8y-4z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，1，2），
∵AP∥平面CDE，∴$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{n}$=-4+2t=0，解得t=2，
∴P（0，0，2），$\overrightarrow{CP}$=（0，0，-2），
∴点P到平面CDE的距离d=$\frac{|\overrightarrow{CP}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{4}{\sqrt{6}}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．
（Ⅱ）$\overrightarrow{CA}$=（4，0，-4），$\overrightarrow{CD}$=（4，4，-4），$\overrightarrow{CE}$=（0，8，-4），
设平面ACD的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CA}=4x-4z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CD}=4x+4y-4z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，0，1），
设平面CDE的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CD}=4a+4b-4c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CE}=8b-4c=0}\end{array}\right.$，取a=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，1，2），
设二面角A-CD-E的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{3}{\sqrt{2}•\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴θ=30°，
∴二面角A-CD-E的大小为30°．

点评 本题考查点到平面的距离的求法，考查二面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．