题目内容
7．平面直角坐标系中，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=t\\ y=a+t\end{array}$（t为参数，a为常数），曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2cosα\\ y=2+2sinα\end{array}$（α为参数，-$\frac{π}{2}$≤α≤$\frac{π}{2}$），以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）写出直线l与曲线C的极坐标方程；
（2）若直线l与曲线C有且只有一个公共点，求实数a的值．
分析 （1）曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2cosα\\ y=2+2sinα\end{array}$（α为参数，-$\frac{π}{2}$≤α≤$\frac{π}{2}$），利用cos2α+sin2α=1化为直角坐标方程，再利用ρ2=x2+y2，y=ρsinθ=0，可得极坐标方程（$0≤θ≤\frac{π}{2}$）．直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=t\\ y=a+t\end{array}$（t为参数，a为常数），消去参数t可得直角坐标方程，利用极坐标与直角坐标互化公式即可化为极坐标方程．
（2）将ρ=4sinθ（$0≤θ≤\frac{π}{2}$）代入ρcosθ-ρsinθ+a=0可得：$2\sqrt{2}sin（{2θ+\frac{π}{4}}）=2-a$，令$2θ+\frac{π}{4}=t$，如图作出$y=2\sqrt{2}sint$（$\frac{π}{4}≤t≤\frac{5π}{4}$）和y=2-a的图象，即可得出．
解答 
解：（1）曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2cosα\\ y=2+2sinα\end{array}$（α为参数，-$\frac{π}{2}$≤α≤$\frac{π}{2}$），
化为直角坐标方程：x2+（y-2）2=4，
展开可得：x2+y2-4y=0，化为极坐标方程：ρ2-4ρsinθ=0，即ρ=4sinθ（$0≤θ≤\frac{π}{2}$），
直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=t\\ y=a+t\end{array}$（t为参数，a为常数），
消去参数t可得：y=a+x，化为极坐标方程：ρcosθ-ρsinθ+a=0．
（2）将ρ=4sinθ（$0≤θ≤\frac{π}{2}$）代入ρcosθ-ρsinθ+a=0得：4sinθcosθ-4sinθsinθ+a=0，即$2\sqrt{2}sin（{2θ+\frac{π}{4}}）=2-a$，
令$2θ+\frac{π}{4}=t$，∵$0≤θ≤\frac{π}{2}$，则$\frac{π}{4}≤t≤\frac{5π}{4}$．如图作出$y=2\sqrt{2}sint$（$\frac{π}{4}≤t≤\frac{5π}{4}$）和y=2-a的图象，
由直线l与曲线C有且只有一个公共点，得$2-a=2\sqrt{2}$或-2≤2-a＜2，
即$a=2-2\sqrt{2}$或0＜a≤4．
点评 本题考查了极坐标化为直角坐标、参数方程化为普通方程、和差公式、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
如图所示，在长方体ABCD-A′B′C′D′中，AB=λAD=λAA′（λ＞0），E，F分别是A′C′和AD的中点，且EF⊥平面A′BCD′．| A． | （$\frac{1}{8}$，+∞） | B． | （$\frac{1}{3}$，$\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$） | C． | （$\frac{{\sqrt{2}}}{4}$，+∞） | D． | （2$\sqrt{2}$，3） |
