题目内容

8．已知函数f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{|{x+1}|，x≤0}\\{|{{{log}_{\frac{1}{2}}}x}|，x＞0}\end{array}}$若方程f（x）=k有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则$\frac{{（{x_1}+{x_2}）{x_3}}}{2}$+$\frac{1}{{x_3^2{x_4}}}$的取值范围是（　　）
A．[$\frac{3}{2}$，+∞）B．（-∞，0）C．（0，$\frac{3}{2}$]D．（0，$\frac{3}{2}$）

分析 作出函数f（x），得到x1，x2关于x=-1对称，x3x4=1；化简条件，利用数形结合进行求解即可．

解答 解：作函数f（x）的图象如右，
∵方程f（x）=k有四个不同的解x1，x2，x3，x4，
且x1＜x2＜x3＜x4，
∴x1，x2关于x=-1对称，即x1+x2=-2，
0＜x3＜1＜x4＜2，
则|log${\;}_{\frac{1}{2}}$x3|=|log${\;}_{\frac{1}{2}}$x4|，
即log${\;}_{\frac{1}{2}}$x3=-log${\;}_{\frac{1}{2}}$x4，
则log${\;}_{\frac{1}{2}}$x3+log${\;}_{\frac{1}{2}}$x4=0
即log${\;}_{\frac{1}{2}}$x3x4=0
则x3x4=1；
当|log${\;}_{\frac{1}{2}}$x|=1得x=2或$\frac{1}{2}$，
则1＜x4≤2；$\frac{1}{2}$≤x3＜1；
故$\frac{{（{x_1}+{x_2}）{x_3}}}{2}$+$\frac{1}{{x_3^2{x_4}}}$=-x3+$\frac{1}{{x}_{3}}$，$\frac{1}{2}$≤x3＜1；
则函数y=-x3+$\frac{1}{{x}_{3}}$，在$\frac{1}{2}$≤x3＜1上为减函数，
则故x3=$\frac{1}{2}$取得最大值，为y=-$\frac{1}{2}$+2=$\frac{3}{2}$，
当x3=1时，函数值最小为y=-1+1=0．
即函数取值范围是（0，$\frac{3}{2}$]．
故选：C

点评 本题考查分段函数的运用，主要考查函数的单调性的运用，运用数形结合的思想方法是解题的关键．

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