题目内容
10．在平面直角坐标系xOy和及坐标系中，极点与原点重合，极轴与x轴非负半轴重合，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=1-t\\ y=2-\sqrt{3}t\end{array}\right.$（t为参数），曲线C：ρ2-4ρsinθ+2=0．（Ⅰ）将直线l的方程化为普通方程，将曲线C的方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线l与曲线交于A，B，求|AB|．
分析 （I）直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=1-t\\ y=2-\sqrt{3}t\end{array}\right.$（t为参数），消去参数t可得普通方程．曲线C：ρ2-4ρsinθ+2=0，利用ρ2=x2+y2，y=ρsinθ，即可化为直角坐标方程．
（II）圆心C到直线l的距离d．利用|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$即可得出．
解答 解：（I）直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=1-t\\ y=2-\sqrt{3}t\end{array}\right.$（t为参数），消去参数t可得普通方程：$\sqrt{3}$x-y+2-$\sqrt{3}$=0．
曲线C：ρ2-4ρsinθ+2=0，可得直角坐标方程：x2+y2-4y+2=0，配方为x2+（y-2）2=2，
可得圆心C（0，2），半径r=$\sqrt{2}$．
（II）圆心C到直线l的距离d=$\frac{|-2+2-\sqrt{3}|}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴|AB|=2$\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}-（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=$\sqrt{5}$．
点评 本题考查了极坐标与直角坐标方程的互化、参数方程化为普通方程、直线与圆相交弦长、点到直线的距离公式公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
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| A． | （$\frac{1}{8}$，+∞） | B． | （$\frac{1}{3}$，$\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$） | C． | （$\frac{{\sqrt{2}}}{4}$，+∞） | D． | （2$\sqrt{2}$，3） |
在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC，过棱PC的中点E，作EF⊥PB交PB于点F，连接DE，DF，BD，BE．
如图，在正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，将△AED、△DCF分别沿DE、DF折起，使A、C两点重合于点P，点P在平面DEF上的射影点为H．
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