题目内容

已知 $数学公式$ ， $数学公式$ φ，sinφ），函数 $数学公式$ φ （其中 $数学公式$ 的图象在y轴右侧的第一个最高点（即函数取得最大值的点）为P（ $数学公式$ ，2），在原点右侧与x轴的第一个交点为Q（ $数学公式$ ，0）．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2判断函数f（x）在区间 $数学公式$ 上是否存在对称轴，存在求出方程；否则说明理由．

解：（1）由题意化简可知，函数 $\text{[math]}$ φ=2Acosωx（sinωxcosφ+cosωxsinφ）-Asinφ
=A（sin2ωxcosφ+2cos²ωxsinφ）-Asinφ=A（sin2ωxcosφ+cos2ωxsinφ）=Asin（2ωx+φ），（4分）
且A=2， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，∴ω=π．
将点P（ $\text{[math]}$ ，2）代入 y=2sin（πx+φ）可得：sin（ $\text{[math]}$ +φ）=1，∴φ=2kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈z．
考虑到 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ，于是函数的表达式为 f（x）=2sin（πx+ $\text{[math]}$ ）．（6分）
（2）由 πx+ $\text{[math]}$ =kπ+ $\text{[math]}$ k∈z，解得x=k+ $\text{[math]}$ ．
令 $\text{[math]}$ ≤k+ $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ ，解得： $\text{[math]}$ ≤k≤ $\text{[math]}$ ．由于k∈z，所以k=5．
所以函数f（x）在区间 $\text{[math]}$ 上存在对称轴，其方程为x= $\text{[math]}$ ． …（10分）
分析：（1）由题意利用三角函数的恒等变换化简可得函数f（x）的解析式为 Asin（2ωx+φ），根据顶点纵坐标求出A，据函数的周期性求得ω，把点代入求得 φ 的值．
（2）由 πx+ $\text{[math]}$ =kπ+ $\text{[math]}$ k∈z，解得x=k+ $\text{[math]}$ ．令 $\text{[math]}$ ≤k+ $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ 以及k的性质，解得k的值，从而得出结论．
点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，两个向量的数量积的运算，正弦函数的对称性，属于中档题．