Question

已知α∈(

π

2

，π)，sinα+cosα=

1

5

，则cos2α的值为（　　）

• A．

  24

  25

• B．-

  24

  25

• C．-

  7

  25

• D．

  7

  25

Answer 1

分析：把已知的等式左右两边平方，利用完全平方公式及同角三角函数间的平方关系sin²α+cos²α=1化简，求出2sinαcosα的值，再利用完全平方公式及同角三角函数间的平方关系sin²α+cos²α=1化简（sinα-cosα）²，把2sinαcosα的值代入求出（sinα-cosα）²的值，由α的范围判断出sinα和cosα的正负，进而得到sinα-cosα为正，开方可得sinα-cosα的值，与已知的等式联立求出sinα和cosα的值，最后利用二倍角的余弦函数公式化简所求的式子，将求出sinα和cosα的值，即可求出所求式子的值．

解答：解：把sinα+cosα=

1

5

①两边平方得：
（sinα+cosα）²=sin²α+cos²α+2sinαcosα=1+2sinαcosα=

1

25

，
∴2sinαcosα=-

24

25

，
则（sinα-cosα）²=sin²α+cos²α-2sinαcosα=1-2sinαcosα=

49

25

，
∵α∈（

π

2

，π），∴sinα＞0，cosα＜0，
∴sinα-cosα＞0，
∴sinα-cosα=

7

5

②，
联立①②解得：sinα=

4

5

，cosα=-

3

5

，
则cos2α=cos²α-sin²α=-

7

25

．
故选C

点评：此题考查了同角三角函数间的基本关系，完全平方公式的运用，以及二倍角的余弦函数公式，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键．