题目内容
（2012•西城区二模）已知函数f(x)=sin(ωx+φ)+| 3 |
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
（Ⅰ）求ω与φ的值；
（Ⅱ）若f(
| α |
| 4 |
4
| ||
| 5 |
| 2sinα-sin2α |
| 2sinα+sin2α |
分析：（I）运用辅助角公式，化简得f(x)=2sin(ωx+φ+
)．根据图象算出函数的周期，结合三角周期公式得到ω的值，再由f（0）=2是函数的最大值，可求得φ 的值；
（II）根据（I）求出的不等式，可得cos
的值，利用二倍角公式算出cosα的值，最后将要求值的式子化简，代入cosα的值即可得到答案．
| π |
| 3 |
（II）根据（I）求出的不等式，可得cos
| α |
| 2 |
解答：解：（Ⅰ）∵f(x)=sin(ωx+φ)+
cos(ωx+φ)=2（sin(ωx+φ)cos
+cos(ωx+φ)sin
）
∴f(x)=2sin(ωx+φ+
)． …（2分）
设f（x）的最小正周期为T．
由图象，可得
=
-(-
)=
，所以 T=π，得ω=
=2． …（4分）
由 f（0）=2，得 sin(φ+
)=1，得φ+
=
+2kπ，k∈Z
因为 φ∈(-
，
)，所以取k=0，得φ=
． …（6分）
（Ⅱ）由（II），得f(x)=2sin(2x+
)=2cos2x． …（8分）
∴f(
)=2cos
=
，得 cos
=
，…（9分）
可得 cosα=2cos2
-1=
． …（11分）
∴
=
=
=
． …（13分）
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
∴f(x)=2sin(ωx+φ+
| π |
| 3 |
设f（x）的最小正周期为T．
由图象，可得
| T |
| 2 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
| 2π |
| T |
由 f（0）=2，得 sin(φ+
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
因为 φ∈(-
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
（Ⅱ）由（II），得f(x)=2sin(2x+
| π |
| 2 |
∴f(
| α |
| 4 |
| α |
| 2 |
4
| ||
| 5 |
| α |
| 2 |
2
| ||
| 5 |
可得 cosα=2cos2
| α |
| 2 |
| 3 |
| 5 |
∴
| 2sinα-sin2α |
| 2sinα+sin2α |
| 2sinα(1-cosα) |
| 2sinα(1+cosα) |
| 1-cosα |
| 1+cosα |
| 1 |
| 4 |
点评：本题给出三角函数的图象，确定其解析式并根据解析式求值，着重考查了三角函数的图象与性质、二倍角的三角函数和辅助角公式等知识，属于基础题．
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