Question

已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值为，离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作直线交于、两点，试问：在轴上是否存在一个定点，使为定值？若存在，求出这个定点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）（2）符合条件的点存在，其坐标为

（1）设椭圆的方程为，由已知得 ，，，
椭圆的方程为 ．
（2）法一：假设存在符合条件的点，又设，则：

 
①当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，则由，
得，即，
，
，
所以 ，
对于任意的值，为定值，所以，得，
所以；
②当直线的斜率不存在时，直线，由得．
综上述①②知，符合条件的点存在，起坐标为．
法二：假设存在符合条件的点，又设则：
，
=．
①当直线的斜率不为时，设直线的方程为，由，得，
，


．
设则

，，．
②当直线的斜率为时，直线，由得：
．
综上述①②知，符合条件的点存在，其坐标为．