Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，棱长为a，E为棱CC₁上的动点．
（1）求证：A₁E⊥BD；
（2）当E恰为棱CC₁的中点时，求证：平面A₁BD⊥平面EBD；
（3）在（2）的条件下，求VA1- BDE．

Answer 1

分析：（1）连AC，A₁C₁，根据正方体的几何特征，可得AA₁⊥BD，AC⊥BD，由线面垂直的判定定理，可得BD⊥平面ACC₁A₁，再根据线面垂直的性质，即可得到BD⊥A₁E．
（2）设AC∩BD=O，则O为BD的中点，连A₁O，EO，结合（1）的结论，可得∠A₁EO即为二面角A₁-BD-E的平面角，解三角形A₁EO，可以求出为二面角A₁-BD-E为直二面角，即平面A₁BD⊥平面EBD；
（3）由（2）得A₁O⊥平面BDE，求出棱锥的底面面积和棱锥高，代入锥棱的体积公式，即可求出答案．

解答：证明：（1）连AC，A₁C₁．∵正方体AC₁中，AA₁⊥平面ABCD，∴AA₁⊥BD．
∵正方形ABCD，AC⊥BD且AC∩AA₁=A．∴BD⊥平面ACC₁A₁ 且E∈CC₁．∴A₁E?平面ACC₁A₁．∴BD⊥A₁E．
（2）设AC∩BD=O，则O为BD的中点，连A₁O，EO．
由（1）得BD⊥平面A₁ACC₁，∴BD⊥A₁O，BD⊥EO．
∴∠A₁OE即为二面角A₁-BD-E的平面角．
∵AB=a，E为CC₁中点，∴A₁O=

6

2

a，EO=

3

2

a，A₁E=

3

2

a．
∴A₁O²+OE²=A₁E²．∴A₁O⊥OE．∴∠A₁OE=90°．
∴平面A₁BD⊥平面BDE．
（3）由（2）得A₁O⊥平面BDE 且A₁O=

6

2

a，
又S△BDE=

6

4

a2，
∴V=

1

3

Sh=

1

4

a3﹒

点评：本题考查的知识点是线面垂直的性质，平面与平面垂直的判定，棱锥的体积，其中（1）、（2）的关键是熟练掌握空间线线、线面及面面之间位置关系的转化，（3）的关键是求出棱锥的底面面积及高的长．