Question

在直角坐标系中，角φ、2x的终边分别与单位圆（以原点O为圆心）交于A、B两点，函数f(x)=

OA

 • 

OB

，若f(x)≤f(

π

6

)对x∈R恒成立．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）的对称轴与单调递减区间．

Answer 1

分析：（1）利用向量的数量积公式，结合f(x)≤f(

π

6

)对x∈R恒成立，确定函数的解析式；
（2）利用余弦函数的性质，即可求函数f（x）的对称轴与单调递减区间．

解答：解：（1）∵角φ、2x的终边分别与单位圆（以原点O为圆心）交于A、B两点，
∴

OA

=（cosφ，sinφ），

OB

=（cos2x，sin2x）
∴f(x)=

OA

 • 

OB

=cosφcos2x+sinφsin2x=cos（2x-φ）
∵f(x)≤f(

π

6

)对x∈R恒成立，
∴f(

π

6

)=1，即cos（2×

π

6

-φ）=1
∴φ-

π

3

=2kπ
∴φ=2kπ+

π

3

，k∈Z
∴f（x）=cos[2x-（2kx+

π

3

）]=cos（2x-

π

3

），
即函数f（x）的解析式为f（x）=cos（2x-

π

3

）
（2）由（1）知，f（x）=cos（2x-

π

3

），
令2x-

π

3

=kπ，k∈Z，得x=

kπ

2

+

π

6

，k∈Z，
∴f（x）的对称轴为x=

kπ

2

+

π

6

，k∈Z，
∵2kπ≤2x-

π

3

≤2kπ+π，k∈Z，
kπ+

π

6

≤x≤kπ+

2π

3

，k∈Z，
故函数f（x）的单调递减区间为[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]，k∈Z，

点评：本题考查向量知识的运用，考查三角函数性质，考查学生计算能力，属于中档题．