Question

12．已知函数f（x）=cosx•sinx，给出下列五个说法中，其中正确说法的序号是①⑤
①$f（\frac{1921π}{12}）=\frac{1}{4}$；                  
②若f（x₁）=-f（x₂），则x₁=-x₂；
③f（x）在区间$[{-\frac{π}{6}，\frac{π}{3}}]$上单调递增；  
④f（x）的图象关于点$（-\frac{π}{4}，0）$成中心对称；
⑤将函数f（x）的图象向右平移$\frac{3π}{4}$个单位可得到$y=\frac{1}{2}cos2x$的图象．

Answer 1

分析 利用倍角公式把已知函数解析式化简，求出$f（\frac{1921π}{12}）$判断①；由f（x₁）=-f（x₂）得到x₁、x₂的关系判断②；由x∈$[{-\frac{π}{6}，\frac{π}{3}}]$求出2x的范围判断③；代值验证判断④；利用函数图象的平移判断⑤．

解答 解：函数f（x）=cosx•sinx=$\frac{1}{2}sin2x$，
①$f（\frac{1921π}{12}）$=$\frac{1}{2}sin\frac{1921π}{6}$=$\frac{1}{2}sin\frac{π}{6}=\frac{1}{4}$，故①正确；                  
②由f（x₁）=-f（x₂），得$\frac{1}{2}sin（2{x}_{1}）=-\frac{1}{2}sin（2{x}_{2}）$，∴sin2x₁=-sin2x₂=sin（π+2x₂），
则2x₁=π+2x₂+2kπ或2x₁+2x₂=2kπ，故②错误；
③当x∈$[{-\frac{π}{6}，\frac{π}{3}}]$时，2x∈[-$\frac{π}{3}，\frac{2π}{3}$]，故③错误；  
④∵f（-$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{2}sin（-\frac{π}{2}）$=-$\frac{1}{2}$，故④错误；
⑤将函数f（x）的图象向右平移$\frac{3π}{4}$个单位可得到y=$\frac{1}{2}sin2（x-\frac{3π}{4}）=\frac{1}{2}cos2x$，故⑤正确．
∴正确的说法是①⑤．
故答案为：①⑤．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查了三角函数的图象和性质，是中档题．