Question

2．正三棱台上、下底面边长分别是a和2a，棱台的高为$\frac{\sqrt{33}}{6}$a，则正三棱台的侧面积为$\frac{9}{2}$a²．

Answer 1

分析 作出三棱台的直观图，还原成三棱锥，利用图中的相似及直角三角形关系求出棱台的侧棱，再求出侧面梯形的高即可算出答案．

解答 解：作出三棱台的直观图，还原成三棱锥如图：

取BC中点D，连接OD，OB，则BD=$\frac{1}{2}BC$=a，∠ODB=90°，∠OBD=30°．
∴OB=2OD
∵OD²+BD²=OB²
∴OB=$\frac{2\sqrt{3}a}{3}$
∵$\frac{SO'}{SO}$=$\frac{SB′}{SB}$=$\frac{B'C'}{BC}$=$\frac{a}{2a}$=$\frac{1}{2}$
∴SO=2SO'=$\frac{\sqrt{33}a}{3}$，
∴SB=$\sqrt{S{O}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{5}a$，
∴B'B=$\frac{\sqrt{5}a}{2}$．
过B'作B'E⊥BC于E，
则BE=$\frac{1}{2}$（BC-B'C'）=$\frac{1}{2}a$．
∴B'E=$\sqrt{B'{B}^{2}-B{E}^{2}}$=a．
即棱台侧面梯形的高为a．
∴S_侧面积=$\frac{1}{2}$（a+2a）•a•3=$\frac{9{a}^{2}}{2}$．
故答案为$\frac{9{a}^{2}}{2}$．

点评 本题考查了棱台的结构特征，面积计算，属于基础题．