Question

20．某校高二学生有800名，从中抽取100名学生期末考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]
（Ⅰ）求图中α的值；
（Ⅱ）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分、中位数、众数；（精确到个位数）
（Ⅲ）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（x）与数学成绩相应分数段的人数（y）之比如表所示，求推测高二这800名学生中数学成绩在[50，90）之外的人数．

分数段	[50，60）	[60，70）	[70，80）	[80，90）
x：y	1：1	2：1	3：4	4：5

Answer 1

分析 （Ⅰ）由频率和为1，列出方程求出α的值；
（Ⅱ）利用频率分布直方图求出平均数、中位数与众数；
（Ⅲ）根据表格，求出学生的语文成绩对应的人数，即可得出数学成绩对应的人数是多少．

解答 解：（Ⅰ）由频率分布直方图知，
（0.04+0.03+0.02+2α）×10=1，
解得α=0.005；…（2分）
（Ⅱ）55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05=73，
所以平均分为73；…（4分）
由于直方图中中位数两侧的面积相等，即频率相等，
前两组的频率和为0.45，前三组的频率和为0.75，
所以中位数位于第3组内，设中位数为x，
（x-70）×0.03+0.45=0.5
x≈72；  …（6分）
小组[60，70）的矩形图最高，
所以众数应为$\frac{60+70}{2}$=65； …（8分）
（Ⅲ）分别求出100名学生中，语文成绩在[50，60），[60，70），[70，80），[80，90）的人数依次为0.05×100=5，0.4×100=40，0.3×100=30，0.2×100=20；
所以100名学生中数学成绩在[50，60），[60，70），[70，80），[80，90）的人数依次为：
5，20，40，25；
所以数学成绩在[50，90）之外的人数有100-（5+20+40+25）=10（人）；
从而推测高二这800名学生中数学成绩在[50，90）之外的人数为80（人）．…（12分）

点评 本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了平均数、众数与中位数的计算问题，是基础题目．