Question

已知数列{a_n}为等比数列，其前n项和为S_n，已知a₃+a₅=-

5

32

，且对于任意的n∈N，有S₁，S₃，S₂成等差数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）已知b_n=n（n∈N₊），求T_n=

.

b1 a1

.

+

.

b2 a2

.

+

.

b3 a3

.

+…+

.

bn an

.

．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的前n项和

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知得

a1q2+a1q4=- 5 32 2× a1(1-q3) 1-q =a1+a1+a1q

，由此求出首项和公比，从而能求出a_n=（-

1

2

）ⁿ．
（Ⅱ）由b_n=n，得|

bn

an

|=

n

2n

，由此利用错位相减法能求出T_n．

解答： 解：（Ⅰ）由已知得

a1q2+a1q4=- 5 32 2× a1(1-q3) 1-q =a1+a1+a1q

，
解得a1=-

1

2

，q=-

1

2

，
∴a_n=（-

1

2

）ⁿ．
（Ⅱ）∵b_n=n，∴|

bn

an

|=

n

2n

，
∵T_n=

.

b1 a1

.

+

.

b2 a2

.

+

.

b3 a3

.

+…+

.

bn an

.

，
∴Tn=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

，①

1

2

Tn=

1

22

+

2

23

+

3

24

+…+

n

2n+1

，②
①-②，得：

1

2

Tn=

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

-

n

2n+1

=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

-

n

2n+1

=1-

1

2n

-

n

2n+1

，
∴T_n=2-

n+2

2n

．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．