题目内容

13．已知点A是抛物线y2=4x上的点，若在圆C：（x-6）2+y2=$\frac{21}{4}$上总存在点B，使得∠BAC=30°，其中C为圆心，那么点A的横坐标的取值范围为[4-$\sqrt{6}$，4+$\sqrt{6}$]．

分析 先确定从抛物线上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两条线均为切线时才是最大的角，进而求出CA的长度为4，故问题转化为圆：（x-6）2+y2=21与抛物线y2=4x交点的横坐标的取值范围．

解答 解：由题意，从抛物线上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两条线均为切线时才是最大的角，不妨设切线为AB，AB′，则∠BAB′为60°时，CA=$\sqrt{21}$，
故问题转化为圆：（x-6）2+y2=21与抛物线y2=4x交点的横坐标的取值范围．
联立可得x2-8x+15=0，∴x=3或5
∴满足条件的点A横坐标的取值范围是[3，5]．
故答案为：[3，5]．

点评 本题考查直线与圆的方程的应用，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是明确从抛物线上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两条线均为切线时才是最大的角．

练习册系列答案
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3．如图，在四面体ABCD中，截面EFGH是正方形，则在下列命题中正确的个数为（　　）
①AC⊥BD；
②AC∥截面EFGH；
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④异面直线HF与BD所成的角为45°．
A．0B．4C．3D．2
4．如图是某几何体的三视图．
（Ⅰ）写出该几何体的名称，并画出它的直观图；
（Ⅱ）求出该几何体的表面积和体积．
1．已知函数f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+cos（2x-$\frac{π}{3}$）-1

①求f（x）的最小正周期；
②用列表、描点、连线的方法在给定的坐标系中作出f（x）在区间[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]上的图象；
③若函数y=f（x）的图象向右平移$\frac{π}{12}$个单位，再向上平移1个单位，然后将横坐标不变纵坐标缩短为原来的$\frac{1}{2}$，得到函数y=g（x）的图象，试化简：1+g（x）-g（x+$\frac{π}{4}$）
8．在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=acosφ}\\{y=bsinφ}\end{array}\right.$（a＞b＞0，φ为参数），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆，已知曲线C1上的点M（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$）对应的参数φ=$\frac{π}{6}$，射线θ=$\frac{π}{3}$与曲线C2交于点D（1，$\frac{π}{3}$）．
（1）求曲线C1，C2的直角坐标系方程；
（2）若点A（ρ1，θ），B（ρ2，θ+$\frac{π}{2}$）都在曲线C1上，求$\frac{1}{{{ρ}_{1}}^{2}}$+$\frac{1}{{{ρ}_{2}}^{2}}$的值．
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2．已知集合A={x|x2-5x+6＞0}；B={x|x2-4＜0}，求（1）A∩B；（2）A∪B．
3．过点P（4，6）的圆x2+y2=16的切线方程为5x-12y+52=0或x=4．

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