Question

1．已知函数f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+cos（2x-$\frac{π}{3}$）-1

①求f（x）的最小正周期；
②用列表、描点、连线的方法在给定的坐标系中作出f（x）在区间[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]上的图象；
③若函数y=f（x）的图象向右平移$\frac{π}{12}$个单位，再向上平移1个单位，然后将横坐标不变纵坐标缩短为原来的$\frac{1}{2}$，得到函数y=g（x）的图象，试化简：1+g（x）-g（x+$\frac{π}{4}$）

Answer 1

分析 ①利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）-1，利用周期公式即可得解．
②根据函数表达式，直接求出函数值完成表格，结合点的坐标，用五点法即可在给定坐标系中作出函数f（x）在上[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]的图象；
③利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可求g（x），根据三角函数恒等变换的应用即可化简得解．

解答 解：①∵f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+cos（2x-$\frac{π}{3}$）-1
=cos2x+$\sqrt{3}$sin2x-1
=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）-1，
∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$．
②解：由于-$\frac{π}{6}$≤x≤$\frac{5π}{6}$，∴-$\frac{π}{6}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{11π}{6}$，列表：

2x+$\frac{π}{6}$	-$\frac{π}{6}$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	$\frac{11π}{6}$
x	-$\frac{π}{6}$	-$\frac{π}{12}$	$\frac{π}{6}$	$\frac{5π}{12}$	$\frac{2π}{3}$	$\frac{5π}{6}$
f（x）	-2	-1	1	-1	-3	-2

画图如下：

③若函数y=f（x）的图象向右平移$\frac{π}{12}$个单位，可得函数：y=2sin[2（x-$\frac{π}{12}$）+$\frac{π}{6}$]-1=2sin2x-1的图象，
再向上平移1个单位，可得函数y=2sin2x的图象；
然后将横坐标不变纵坐标缩短为原来的$\frac{1}{2}$，得到函数y=g（x）=2sin4x的图象，
所以：1+g（x）-g（x+$\frac{π}{4}$）=1+2sin4x-2sin4（x+$\frac{π}{4}$）=1+2sin4x+2sin4x=1+4sin4x．

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，周期公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律的应用，考查了五点法作图，属于中档题．