Question

【题目】若、、均为正整数，且，为一素数，、、的进制表示分别为，其中，.证明：

（1）若，且对整数 均有，则，其中，表示不超过实数的最大整数.

（2） ，其中，表示集合A中元素的个数.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】

（1）注意到，.

于是，.

则.

故.

（1）若，且，则记.

以，为例，易得.

一般地，关于不难得出公式：.

由（1）得.

令.则.

先介绍两个引理.

引理1 ，其中，.

引理1的证明 事实上，由，

知.

引理2 若存在整数，有，

而，则存在整数 ，有

引理2的证明 由，即.

又由，得

.

于是，.

因为，所以，.

故.

从而，.

若，则，即.

若，则.

由，

知.

于是，.

所以，，即.

否则，

由于，从而，一定存在整数使得，即.

回到原题.

相对于的进制表示，称中的一段是长度为的一个“下移端”，记为.

显然，.

从而，，即为引理2的条件.

因此，当时，若，则，存在另一个下移段.

由上述讨论，知若中有个，则中存在个下移段 .

当时，显然，，且.

当时，，仍有.

上述两种情形均有.

由引理1及（1）知.

对任意的，当时，由引理1知

.

综上，即得

.

令.则.

故

.