Question

19．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b²+c²=a²+bc
（1）求A；
（2）若$a=\sqrt{3}$，b+c=3，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由题意可得b²+c²-a²=bc，整体代入余弦定理可得cosA，由三角形内角的范围可得A=$\frac{π}{3}$；
（2）由题意和余弦定理可得bc=2，整体代入三角形的面积公式计算可得．

解答 解：（1）∵△ABC中，b²+c²=a²+bc，
∴b²+c²-a²=bc，
∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，
又∵A∈（0，π），∴A=$\frac{π}{3}$；
（2）∵$a=\sqrt{3}$，b+c=3，A=$\frac{π}{3}$，
由余弦定理可得a²=b²+c²-2bccosA
=b²+c²-bc=（b+c）²-3bc，
代入数据可得3=9-3bc，解得bc=2，
∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$×2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查正余弦定理解三角形，涉及三角形的面积公式和整体代入的思想，属中档题．