Question

3．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的左、右焦点分别为F₁、F₂，过点F₁作圆x²+y²=a²的一条切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C，与双曲线的渐近线在第二象限内交于点D，且|CD|=|CF₂|，则双曲线的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{6}$
• B． $\sqrt{5}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 确定切线与渐近线垂直，得出2a=b，再由离心率公式计算即可得到．

解答 解：∵过F₁作圆x²+y²=a²的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C，且|CD|=|CF₂|，
∴|DF₁|=2a，
由题意，切线的斜率为$\frac{a}{b}$，切线方程为y=$\frac{a}{b}$（x+c），与y=-$\frac{b}{a}$垂直，
∴2a=b，
∴c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{5}$a
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$．
故选：B．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，同时考查直线和圆相切的性质，考查学生的计算能力，属于中档题．