题目内容

12.在平面直角坐标系中,点M是由不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x≥0}\\{y≥0}\\{x+y≥4}\end{array}\right.$,所确定的平面区域内的动点,N是圆x2+y2=1上任意一点,0为坐标原点,则|$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{ON}$|的最小值为2$\sqrt{2}$-1.

分析 作出平面区域,结合向量的知识和点到直线的距离公式可得.

解答 解:不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x≥0}\\{y≥0}\\{x+y≥4}\end{array}\right.$表示的区域如图阴影,
当M、N分别在图中的位置时,|$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{ON}$|取最小值,
由点到直线的距离公式可得|OM|=$\frac{4}{\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}}$=2$\sqrt{2}$,
∴|$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{ON}$|的最小值为2$\sqrt{2}$-1,
故答案为:2$\sqrt{2}$-1.

点评 本题考查简单线性规划,涉及向量的模长公式和点到直线的距离公式,准确作图并转化是解决问题的关键,属中档题.

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