Question

设过定点M（0，2）的直线l与椭圆

x2

4

+y2=1交于不同的两点A、B．且∠AOB为锐角，求直线l的斜率k的取值范围．．

Answer 1

分析：设出直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，及∠AOB为锐角，建立不等式，即可求得直线l的斜率k的取值范围．

解答：解：显然直线x=0不满足条件，可设直线l：y=kx+2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
直线代入椭圆方程，消去y可得（1+4k²）x²+16kx+12=0
∵△=（16k）²-4×12×（1+4k²）＞0，∴k＜-

3

2

或k＞

3

2

x₁+x₂=-

16k

1+4k2

，x₁x₂=

12

1+4k2

∴y₁y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4=

4-4k2

1+4k2

由于∠AOB为锐角，∴

OA

•

OB

＞0，即x₁x₂+y₁y₂＞0，∴

12

1+4k2

+

4-4k2

1+4k2

＞0
解得2＜k＜2
∴直线l的斜率的取值范围是（-2，-

3

2

）∪（

3

2

，2）

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．