题目内容
设F1、F2分别是椭圆
+y2=1的左、右焦点．
（1）求椭圆
+y2=1的焦点坐标、离心率及准线方程；
（2）若P是该椭圆上的一个动点，求
•
的最大值和最小值；
（3）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围．
| x2 |
| 4 |
（1）求椭圆
| x2 |
| 4 |
（2）若P是该椭圆上的一个动点，求
| PF1 |
| PF2 |
（3）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围．
分析：（1）由e=
可知，要求离心率，只要根据方程求出a，b，结合c2=a2-b2可求c，从而可求e，进而可求椭圆的准线方程x=±
（2）解法一：设P（x，y），则
•
=(-
-x，-y)•(
-x，-y)=x2+y2-3=
，由x∈[-2，2]，结合二次函数的性质可求最值
解法二：（2）设P（x，y），则，
•
=|
|•|
|•cos∠F1PF2=|
||
|•
=x2+y2-3（以下同解法一）．
（3）显然直线x=0不满足题设条件，可设直l：y=kx-2，A（x1，y1），B（x2，y2），y1y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2x1x2+2k（x1+x2）+4，联立直线与椭圆方程，根据方程的根与系数关系可求x1+x2，x1x2，由△＞0可求k的范围，由0°＜∠AOB＜90°可得
•
=x1x2+y1y2＞0，代入可求k的范围
| c |
| a |
| a2 |
| c |
（2）解法一：设P（x，y），则
| PF1 |
| PF2 |
| 3 |
| 3 |
| 3x2-8 |
| 4 |
解法二：（2）设P（x，y），则，
| PF1 |
| PF2 |
| PF1 |
| PF2 |
| PF1 |
| PF2 |
|
| ||||||
2|
|
（3）显然直线x=0不满足题设条件，可设直l：y=kx-2，A（x1，y1），B（x2，y2），y1y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2x1x2+2k（x1+x2）+4，联立直线与椭圆方程，根据方程的根与系数关系可求x1+x2，x1x2，由△＞0可求k的范围，由0°＜∠AOB＜90°可得
| OA |
| OB |
解答：解：（1）易知a=2，b=1，c=
∴F1(-
，0)，F2(
，0)
∴离心率e=
，椭圆的准线方程为x=±
（2）解法一：设P（x，y），则
•
=(-
-x，-y)•(
-x，-y)=x2+y2-3
=x2+1-
-3
=
因为x∈[-2，2]
故当x=0，即点P为椭圆短轴端点时，
•
有最小值-2；
当x=±2，即点P为椭圆长轴端点时，，
•
有最大值1．
解法二：
（2）易知a=2，b=1，c=
∴F1(-
，0)，F2(
，0)
设P（x，y），则，
•
=|
|•|
|•cos∠F1PF2
=|
||
|•
=
[(x+
)2+y2+(x-
)2+y2-12]
=x2+y2-3
（以下同解法一）．
（3）显然直线x=0不满足题设条件．
可设直l：y=kx-2，A（x1，y1），B（x2，y2）
联立
，消去y，整理得：(k2+
)x2 +4kx+3=0
∴x1+x2=-
，x1x2=
由△=(4k)2-4(k 2+
)×3=4k2-3＞0得：k＜
或k＞
①
又∵0°＜∠AOB＜90°
∴cos∠AOB＞0
∴
•
=x1x2+y1y2＞0
又∵y1y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2x1x2+2k（x1+x2）+4
=
+
=
∵
+
＞0，即k2＜4，
∴-2＜k＜2②
故由①②得-2＜k＜-
，或
＜k＜2．
| 3 |
∴F1(-
| 3 |
| 3 |
∴离心率e=
| ||
| 2 |
4
| ||
| 3 |
（2）解法一：设P（x，y），则
| PF1 |
| PF2 |
| 3 |
| 3 |
=x2+1-
| x2 |
| 4 |
=
| 3x2-8 |
| 4 |
因为x∈[-2，2]
故当x=0，即点P为椭圆短轴端点时，
| PF1 |
| PF2 |
当x=±2，即点P为椭圆长轴端点时，，
| PF1 |
| PF2 |
解法二：
（2）易知a=2，b=1，c=
| 3 |
∴F1(-
| 3 |
| 3 |
设P（x，y），则，
| PF1 |
| PF2 |
| PF1 |
| PF2 |
=|
| PF1 |
| PF2 |
|
| ||||||
2|
|
=
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 3 |
=x2+y2-3
（以下同解法一）．
（3）显然直线x=0不满足题设条件．
可设直l：y=kx-2，A（x1，y1），B（x2，y2）
联立
|
| 1 |
| 4 |
∴x1+x2=-
| 4k | ||
k2+
|
| -3 | ||
k2+
|
由△=(4k)2-4(k 2+
| 1 |
| 4 |
-
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
又∵0°＜∠AOB＜90°
∴cos∠AOB＞0
∴
| OA |
| OB |
又∵y1y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2x1x2+2k（x1+x2）+4
=
| 3k2 | ||
k2+
|
| -8k2 | ||
k2+
|
| 1-k2 | ||
k2+
|
∵
| 3 | ||
k2+
|
| 1-k2 | ||
k2+
|
∴-2＜k＜2②
故由①②得-2＜k＜-
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
点评：本题主要考查了椭圆的性质的应用，直线与椭圆相交关系的应用，方程的根与系数关系及向量的夹角与数量积的关系的相互转化，属于综合性试题
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