题目内容
设F1、F2分别是椭圆
+y2=1的左、右焦点．
（Ⅰ）若P是该椭圆上的一个动点，求
•
的最大值和最小值；
（Ⅱ）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，求直线l的斜率k的取值范围．
| x2 |
| 4 |
（Ⅰ）若P是该椭圆上的一个动点，求
| PF1 |
| PF2 |
（Ⅱ）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，求直线l的斜率k的取值范围．
分析：（Ⅰ）椭圆
+y2=1中，a=2，b=1，c=
，F1(-
，0)，F2(
，0)，设p（x，y），则
•
=(-
-x，-y)•(
-x，-y）=x2+y2-3，由x∈[-2，2]，能求出
•
的最大值和最小值．
（Ⅱ）设直线l：y=kx+2，A（x1，y1），B（x2，y2），联立
，得(k2+
)x2+4kx+3=0，由△=(4k)2-4(k2+
)×3=4k2-3＞0，能求出直线l的斜率k的取值范围．
| x2 |
| 4 |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| PF1 |
| PF2 |
| 3 |
| 3 |
| PF1 |
| PF2 |
（Ⅱ）设直线l：y=kx+2，A（x1，y1），B（x2，y2），联立
|
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
解答：解：（Ⅰ）椭圆
+y2=1中，a=2，b=1，c=
，
∴F1(-
，0)，F2(
，0)，
设p（x，y），则
•
=(-
-x，-y)•(
-x，-y）=x2+y2-3，
∵x∈[-2，2]，∴当x=0，即点P为椭圆短轴端点时，
•
有最小值-2．
当x=±2，即点P为椭圆长轴端点时，
•
有最大值1．
（Ⅱ）∵直线x=0不满足题设条件，
∴设直线l：y=kx+2，A（x1，y1），B（x2，y2），
联立
，消去y，得(k2+
)x2+4kx+3=0，
∵过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，
∴△=(4k)2-4(k2+
)×3=4k2-3＞0，
解得k＞
，或k＜-
．
| x2 |
| 4 |
| 3 |
∴F1(-
| 3 |
| 3 |
设p（x，y），则
| PF1 |
| PF2 |
| 3 |
| 3 |
∵x∈[-2，2]，∴当x=0，即点P为椭圆短轴端点时，
| PF1 |
| PF2 |
当x=±2，即点P为椭圆长轴端点时，
| PF1 |
| PF2 |
（Ⅱ）∵直线x=0不满足题设条件，
∴设直线l：y=kx+2，A（x1，y1），B（x2，y2），
联立
|
| 1 |
| 4 |
∵过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，
∴△=(4k)2-4(k2+
| 1 |
| 4 |
解得k＞
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
点评：本题考查直线与椭圆的位置关系的综合运用，具体涉及到椭圆的简单性质、韦达定理、根与系数的关系等基本知识点，解题时要认真审题，仔细解答．
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