题目内容

已知椭圆C：
x
2
 
a
2
 
+
y
2
 
b
2
 
=1(a＞b＞0)．
（1）若椭圆的长轴长为4，离心率为
3
2
，求椭圆的标准方程；
（2）在（1）的条件下，设过定点M（0，2）的直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围．
分析：（1）利用椭圆的长轴长为4，离心率为
3
2
，求得几何量，即可求得椭圆的标准方程；
（2）设出直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，及∠AOB为锐角，建立不等式，即可求得直线l的斜率k的取值范围．
解答：解：（1）由题意，2a=4，e=
c
a
=
3
2
，∴a=2，c=
3

∴b=
a2-c2
=1
∴椭圆C的标准方程为
x
2
 
4
+y2=1；
（2）显然直线x=0不满足条件，可设直线l：y=kx+2，A（x1，y1），B（x2，y2）
直线代入椭圆方程，消去y可得（1+4k2）x2+16kx+12=0
∵△=（16k）2-4×12×（1+4k2）＞0，∴k＜-
3
2
或k＞
3
2

x1+x2=-
16k
1+4k2
，x1x2=
12
1+4k2

∴y1y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2x1x2+2k（x1+x2）+4=
4-4k2
1+4k2

由于∠AOB为锐角，x1x2+y1y2＞0，∴
12
1+4k2
+
4-4k2
1+4k2
＞0
∴2＜k＜2
∴直线L的斜率的取值范围是（-2，-
3
2
）∪（
3
2
，2）
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆C：x2+
y2
m
=1的焦点在y轴上，且离心率为
3
2
．过点M（0，3）的直线l与椭圆C相交于两点A、B．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设P为椭圆上一点，且满足
OA
+
OB
=λ
OP
（O为坐标原点），当|
PA
|-|
PB
|＜
3
时，求实数λ的取值范围．
已知椭圆C：
x
2
 
a
2
 
+
y
2
 
b
2
 
=1(a＞b＞0)经过 点B(0，
3
)，且离心率为
1
2
，右顶点为A，左右焦点分别为F1，F2；椭圆C2以坐标原点为中心，且以F1F2为短轴端，上顶点为D．
（Ⅰ）求椭圆C1的方程；
（Ⅱ）若C1与C2交于M、N、P、Q四点，当AD∥F2B时，求四边形MNPQ的面积．
已知椭圆C经过点A(1， 
3
2
)，且经过双曲线y2-x2=1的顶点．P是该椭圆上的一个动点，F1，F2是椭圆的左右焦点，
（1）求椭圆C的方程；
（2）求|PF1|•|PF2|的最大值和最小值．
（3）求
PF1
•
PF2
的最大值和最小值．
（2012•安徽模拟）已知椭圆C：
x
2
 
a
2
 
+
y
2
 
b
2
 
=1(a＞b＞0)的两个焦点分别为F1（-1，0），F2（1，0），长半轴长为
2
．
（1）（i）求椭圆C的方程；
（ii）类比结论“过圆
x
2
 
+
y
2
 
=r2上任一点（x0，y0）的切线方程是x0x+yy0=
r
2
 
”，归纳得出：过椭圆
x
2
 
a
2
 
+
y
2
 
b
2
 
=1(a＞b＞0)上任一点（x0，y0）的切线方程是
x0x
a
2
 
+
y0y
b
2
 
=1
x0x
a
2
 
+
y0y
b
2
 
=1
；
（2）设M，N是直线x=2上的两个点，若
F1M
•
F2M
=0，求|MN|的最小值．
已知椭圆C：
x
2
 
a
2
 
+
y
2
 
b
2
 
=1(a＞b＞0)，F1、F2分别为椭圆c的左右焦点，点P在椭圆C上（不是顶点），△PF1F2内一点G满足3
PG
=
PF1
+
PF2
，其中
OG
=(
1
9
a，
6
9
a)．
（I）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）若椭圆C短轴长为2
3
，过焦点F2的直线l与椭圆C相交于A、B两点（A、B不是左右顶点），若
AF2
=2
F2B
，求△F1AB面积．

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