Question

1．有一边长为30cm的正方形铁皮，把它的四个角各切去一个大小相同的正方形，然后折起，做成一个无盖的长方体容器，按要求长方体的高不小于4cm且不大于10cm，试求长方体的最大体积．

Answer 1

分析 可设小正方形的边长为xcm，并且4≤x≤10，结合图形即可求出长方体的体积V（x）=4（x³-30x²+225x），求导数便得到V′（x）=12（x-5）（x-15），其中x∈[4，10]，这样根据导数符号即可求出V（x）的最大值，即得出长方体的最大体积．

解答 解：设切去的小正方形边长为xcm，4≤x≤10，则长方体的体积为：
V（x）=（30-2x）²•x=4（x³-30x²+225x），4≤x≤10；
∴V′（x）=12（x-5）（x-15），4≤x≤10；
∴4≤x＜5时，V′（x）＞0，5＜x≤10时，V′（x）＜0；
∴x=5时，V（x）取最大值2000；
即长方体的最大体积为2000cm³．

点评 考查长方体的体积计算公式，根据导数符号求函数最值的方法和过程，基本初等函数的求导，清楚小正方形的边长范围．