Question

【题目】记抛物线的焦点为，点在抛物线上，，斜率为的直线与抛物线交于两点.

（1）求的最小值；

（2）若，直线的斜率都存在，且；探究：直线是否过定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）直线l过定点

【解析】

(1) 设抛物线的准线为，过点作，垂足为，过点作，垂足为,利用抛物线的定义可得.

(2) 设直线的方程为， ；将直线与抛物线的方程联立,利用韦达定理及变形可得或,将代入直线,可得直线必过定点.

（1）设抛物线的准线为，过点作，垂足为，

过点作，垂足为

如图:

则

即的最小值为；

（2）设直线的方程为， ；

将直线与抛物线的方程联立得 ，

①

又

即

将①代入得， ，

即，得或

当时，直线为，此时直线恒过；

当时，直线为，此时直线恒过（舍去）；

综上所述，直线l过定点