Question

【题目】已知椭圆的离心率，且与直线相切.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过椭圆上点作椭圆的弦，，若，的中点分别为，，若平行于，则，斜率之和是否为定值？

Answer 1

【答案】（1）（2），斜率之和是为定值0.

【解析】

由离心率可得,,由椭圆与直线相切,联立方程,得到关于的一元二次方程的判别式为0,即,进而求出即可.

因为直线平行于，所以,设直线的方程，，，联立方程,得到关于的一元二次方程,利用韦达定理求出的值,代入,化简求解即可.

（1）根据题意知,，即，

由，消去可得，

因为椭圆与直线相切，

所以判断式，

解得，则，

所以椭圆的标准方程为.

（2）因为，的中点分别为，，直线平行于，

所以，

设直线的方程，，，

联立方程，解得，

由韦达定理可得,，，

由中点坐标公式可得,，，

，

所以，斜率之和是为定值0.