Question

【题目】已知函数，．

（1）讨论函数的导函数的单调性；

（2）若函数在处取得极大值，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）先求出，再对a分类讨论求出函数的单调性；（2）由题得，再对a分类讨论，根据函数在x=1处取得极大值，求出a的取值范围.

（1）∵，∴，∴，

①当时，，∴函数在上单调递增；

②当时，若，则；若，则，

∴函数在上单调递增，在上单调递减．

综上所述，当时．函数在上单调递增，

当时，函数在上单调递增，在上单调递减．

（2）∵，∴．

①由（1）知，当时，在上单调递增，

若，则；若，则，

∴在上单调递增，在上单调递减，∴在处取得极小值；不合题意；

②当时，在上单调递增，在上是单调递减，∴，

∴在上单调递减．∴无极值，不合题意；

③当时，，由（1）知，在上单调递增，∵，

∴若，则；若，则，

∴在上单调递增，在上单调递减，∴在处取得极小值，不合题意；

④当时，，由（1）知，在上单调递减，∵，

∴若，则；若，则．

∴在上单调递增，在上单调递减，

∴在处取得极大值，符合题意．

综上所述，a的取值范围是．