Question

15．在直角坐标系xOy中，曲线C₁：$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}+\frac{1}{2}t\\ y=2+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}$（t为参数），在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C₂：ρ=4．
（Ⅰ）求出曲线C₂的直角坐标方程；
（Ⅱ）若C₁与C₂相交于A，B两点，求线段AB的长．

Answer 1

分析 （I）曲线C₂：ρ=4，利用互化公式可得直角坐标方程．
（II）把曲线C₁的参数代入圆的方程可得：t²+3$\sqrt{3}$t-9=0，利用根与系数的关系及其|AB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$，即可得出．

解答 解：（I）曲线C₂：ρ=4，可得直角坐标方程：x²+y²=16．
（II）把曲线C₁：$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}+\frac{1}{2}t\\ y=2+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}$（t为参数），代入圆的方程可得：t²+3$\sqrt{3}$t-9=0，
∴t₁+t₂=$-3\sqrt{3}$，t₁t₂=-9，
∴|AB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\sqrt{（3\sqrt{3}）^{2}-4×（-9）}$=3$\sqrt{7}$．

点评 本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、直线与圆相交弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．