Question

20．如图所示，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=2，点F是PB的中点，点E在棱BC上移动．
（1）当E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并请说明理由；
（2）当E为BC的中点时，求直线EF与平面PDE所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）EF∥平面PAC，利用三角形中位线的性质及线面平行的判定定理证明即可；
（2）求出CP与平面PDE所成角的正弦值，即可求直线EF与平面PDE所成角的正弦值．

解答 解：（1）EF∥平面PAC．
证明：∵E为BC中点，F是PB中点，∴EF∥CP，
∵CP?平面PAC，EF?平面PAC，∴EF∥平面PAC：
（2）E为BC中点，F是PB中点，∴EF∥CP且EF=$\frac{1}{2}CP$．
∵底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=2，
∴PC=2$\sqrt{3}$，∴EF=$\sqrt{3}$，
△PDE中，PD=2$\sqrt{2}$，DE=$\sqrt{5}$，PE=3，cos∠DPE=$\frac{8+9-5}{2×2\sqrt{2}×3}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴∠DPE=45°，
∴S_△DPE=$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×3×\frac{\sqrt{2}}{2}$=3，
设C到平面DPE的距离为h，则由等体积可得$\frac{1}{3}×3h$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×1×2$，
∴h=$\frac{2}{3}$，
∵PC=2$\sqrt{3}$，
∴CP与平面PDE所成角的正弦值=$\frac{\frac{2}{3}}{2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{9}$．
∴直线EF与平面PDE所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{3}}{9}$．

点评 本题考查空间直线、平面位置关系的判定，线面角求解．考查空间想象能力、推理论证、转化计算能力．