题目内容

求（1+a）（1+a2）（1+a4）…（1+a2n）（0＜a＜1）.

解法一：∵（1+a）（1+a2）（1+a4）…（1+）的展开式中共有2n+1项，幂指数最大的项是a1+2+…+2n=a2n+1－1，幂指数最小的项是1，由此可写出该积的展开式，进而求和，再求极限.

∵（1+a）（1+a2）（1+a4）…（1+a2n）

=1+a+a2+…+－1

=（0＜a＜1），

∴（1+a）（1+a2）（1+a4）…（1+）

==.

解法二：利用特征，分子、分母同乘（a－1），对分子化简后求极限.

（1+a）（1+a2）（1+a4）…（1+）

=

==.

点评：本题的关键是把无限项的积转化为有限项.解法一巧妙利用幂指数的规律写出展开式进而求和，解法二巧妙使用了平方差公式.

练习册系列答案
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已知曲线C1：
|x|
a
+
|y|
b
=1(a＞b＞0)所围成的封闭图形的面积为4
5
，曲线C1的内切圆半径为
2
5
3
．记C2为以曲线C1与坐标轴的交点为顶点的椭圆．
（Ⅰ）求椭圆C2的标准方程；
（Ⅱ）设AB是过椭圆C2中心的任意弦，l是线段AB的垂直平分线．M是l上异于椭圆中心的点．
（1）若|MO|=λ|OA|（O为坐标原点），当点A在椭圆C2上运动时，求点M的轨迹方程；
（2）若M是l与椭圆C2的交点，求△AMB的面积的最小值．
精英家教网已知椭圆C的方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，点A、B分别为其左、右顶点，点F1、F2分别为其左、右焦点，以点A为圆心，AF1为半径作圆A；以点B为圆心，OB为半径作圆B；若直线l： y=-
3
3
x被圆A和圆B截得的弦长之比为
15
6
；
（1）求椭圆C的离心率；
（2）己知a=7，问是否存在点P，使得过P点有无数条直线被圆A和圆B截得的弦长之比为
3
4
；若存在，请求出所有的P点坐标；若不存在，请说明理由．
某汽车配件厂生产A、B两种型号的产品，A型产品的一等品率为
4
5
，二等品率为
1
5
；B型产品的一等品率为
9
10
，二等品率为
1
10
．生产1件A型产品，若是一等品则获得4万元利润，若是二等品则亏损1万元；生产1件B型产品，若是一等品则获得6万元利润，若是二等品则亏损2万元．设生产各件产品相互独立．
（1）求生产4件A型产品所获得的利润不少于10万元的概率；
（2）记X（单位：万元）为生产1件A型产品和1件B型产品可获得的利润，求X的分布列及期望值．
已知幂函数f(x)=xm2-2m-3（m∈N*）的图象关于y轴对称，且在（0，+∞）上是减函数．
（1）求m的值；
（2）求满足(1+a)-
2m
3
＜(1-2a)-
2m
3
的a的取值范围．
设f（x）是定义在D上的函数，若对D中的任意两数x1，x2（x1≠x2），恒有f（
1
3
x1+
2
3
x2）＜
1
3
f(x1)+
2
3
f(x2)，则称f（x）为定义在D上的C函数．
（Ⅰ）试判断函数f（x）=x2是否为定义域上的C函数，并说明理由；
（Ⅱ）若函数f（x）是R上的奇函数，试证明f（x）不是R上的C函数；
（Ⅲ）设f（x）是定义在D上的函数，若对任何实数a∈[0，1]以及D中的任意两数x1，x2（x1≠x2），恒有f（ax1+（1-a）x2）≤af（x1）+（1-a）f（x2），则称f（x）为定义在D 上的π函数．已知f（x）是R上的m函数．m是给定的正整数，设an=f（n），n=0，1，2，…m，且a0=0，am=2m，记Sf=a1+a2+…+am．对于满足条件的任意函数f（x），试求Sf的最大值．

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