Question

已知幂函数f(x)=xm2-2m-3（m∈N^*）的图象关于y轴对称，且在（0，+∞）上是减函数．
（1）求m的值；
（2）求满足(1+a)-

2m

3

＜(1-2a)-

2m

3

的a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由幂函数f(x)=xm2-2m-3在（0，+∞）上是减函数，知m²-2m-3＜0，由此能求出m．
（2）由m=1，知满足(1+a)-

2m

3

＜(1-2a)-

2m

3

的a即满足(1+a)-

2

3

＜(1-2a)-

2

3

．由此能求出a的取值范围．

解答：解：（1）∵幂函数f(x)=xm2-2m-3在（0，+∞）上是减函数，
∴m²-2m-3＜0，
解得-1＜m＜3，
∵m∈N^*，∴m=1，或m=2．
当m=1时，f（x）=x^-4，其图象关于y轴对称，
符合题意；
当m=2时，f（x）=x^-3是奇函数，不符合题意，
∴m=1．
（2）∵m=1，
∴满足(1+a)-

2m

3

＜(1-2a)-

2m

3

的a即满足(1+a)-

2

3

＜(1-2a)-

2

3

．
∵y=x-

2

3

为偶函数，且定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），在（0，+∞）上单调减，
∴

|1+a|＞|1-2a| 1+a≠0 1-2a≠0

，即

(1+a)2＞(1-2a)2 a≠-1 a≠ 1 2

，
从而0＜a＜2且a≠

1

2

，
故a的取值范围是（0，

1

2

）∪(

1

2

，2)．

点评：本题考查幂函数的性质及其应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．