题目内容
已知椭圆C的方程为| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| ||
| 3 |
| ||
| 6 |
（1）求椭圆C的离心率；
（2）己知a=7，问是否存在点P，使得过P点有无数条直线被圆A和圆B截得的弦长之比为
| 3 |
| 4 |
分析：（1）根据直线l的斜率可知直线l的倾斜角，进而可求得点A到直线l的距离，进而表示出直线l被圆A截得的弦长和被圆B截得的弦长，利用弦长之比为
，求得a和c的关系，进而求得e．
（2）假设存在，设P点坐标为（m，n），过P点的直线为L，当直线L的斜率不存在时，直线L不能被两圆同时所截，故可知直线L的斜率一定存在，进而可设直线方程，求得点A（-7，0）到直线L的距离，根据（1）的离心率求得圆A的半径，同样可求得圆B的半径，则可求得直线L被两圆截得的弦长，根据他们的比为
建立等式，整理成关于k的一元二次方程，方程有无穷多解，进而求得m和n，则点P的坐标可得．
| ||
| 6 |
（2）假设存在，设P点坐标为（m，n），过P点的直线为L，当直线L的斜率不存在时，直线L不能被两圆同时所截，故可知直线L的斜率一定存在，进而可设直线方程，求得点A（-7，0）到直线L的距离，根据（1）的离心率求得圆A的半径，同样可求得圆B的半径，则可求得直线L被两圆截得的弦长，根据他们的比为
| 3 |
| 4 |
解答：解：（1）由kl=-
，得直线l的倾斜角为150°，
则点A到直线l的距离d1=asin(180°-150°)=
，
故直线l被圆A截得的弦长为L1=2
=2
，
直线l被圆B截得的弦长为L2=2acos(180°-150°)=
a，
据题意有：
=
，即
=
化简得：16e2-32e+7=0，
解得：e=
或e=
，又椭圆的离心率e∈（0，1）；
故椭圆C的离心率为e=
．
（2）假设存在，设P点坐标为（m，n），过P点的直线为L；
当直线L的斜率不存在时，直线L不能被两圆同时所截；
故可设直线L的方程为y-n=k（x-m），
则点A（-7，0）到直线L的距离D1=
，
由（1）有e=
=
，得rA=a-c=
=
，
故直线L被圆A截得的弦长为L1′=2
，
则点B（7，0）到直线L的距离D2=
，rB=7，
故直线L被圆B截得的弦长为L2′=2
，
据题意有：
=
，即有16（rA2-D12）=9（rB2-D22），整理得4D1=3D2，
即
=
，
关于k的方程有无穷多解，
故有：
?
或
，
故所求点P坐标为（-1，0）或（-49，0）．
| ||
| 3 |
则点A到直线l的距离d1=asin(180°-150°)=
| a |
| 2 |
故直线l被圆A截得的弦长为L1=2
(a-c)2-
|
(a-c)2-(
|
直线l被圆B截得的弦长为L2=2acos(180°-150°)=
| 3 |
据题意有：
| L1 |
| L2 |
| ||
| 6 |
2
| ||||
|
| ||
| 6 |
化简得：16e2-32e+7=0，
解得：e=
| 7 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
故椭圆C的离心率为e=
| 1 |
| 4 |
（2）假设存在，设P点坐标为（m，n），过P点的直线为L；
当直线L的斜率不存在时，直线L不能被两圆同时所截；
故可设直线L的方程为y-n=k（x-m），
则点A（-7，0）到直线L的距离D1=
| |-7k-km+n| | ||
|
由（1）有e=
| c |
| a |
| 1 |
| 4 |
| 3a |
| 4 |
| 21 |
| 4 |
故直线L被圆A截得的弦长为L1′=2
|
则点B（7，0）到直线L的距离D2=
| |7k-km+n| | ||
|
故直线L被圆B截得的弦长为L2′=2
|
据题意有：
| L1 |
| L2 |
| 3 |
| 4 |
即
| 4|-7k-km+n| | ||
|
| 3|7k-km+n| | ||
|
关于k的方程有无穷多解，
故有：
|
|
|
故所求点P坐标为（-1，0）或（-49，0）．
点评：本题主要考查了椭圆的性质以及直线与椭圆、圆的关系的综合考查．考查了学生综合分析问题和基本的运算能力．
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