题目内容

已知曲线C1：
|x|
a
+
|y|
b
=1(a＞b＞0)所围成的封闭图形的面积为4
5
，曲线C1的内切圆半径为
2
5
3
．记C2为以曲线C1与坐标轴的交点为顶点的椭圆．
（Ⅰ）求椭圆C2的标准方程；
（Ⅱ）设AB是过椭圆C2中心的任意弦，l是线段AB的垂直平分线．M是l上异于椭圆中心的点．
（1）若|MO|=λ|OA|（O为坐标原点），当点A在椭圆C2上运动时，求点M的轨迹方程；
（2）若M是l与椭圆C2的交点，求△AMB的面积的最小值．
分析：（Ⅰ）利用封闭图形的面积为4
5
，曲线C1的内切圆半径为
2
5
3
，求出a、b的值，待定系数法写出椭圆的标准方程．
（Ⅱ）（1）假设AB所在的直线斜率存在且不为零，设AB所在直线方程为y=kx，代入椭圆的方程，用k表示|OA|的平方，
由|MO|2=λ2|OA|2，得到|MO|2．再用k表示直线l的方程，并解出k，把解出的k代入|MO|2 的式子，消去k得到
M的轨迹方程．当k=0或不存在时，轨迹方程仍成立．
（2）当k存在且k≠0时，由（1）得
x
2
A
=
20
4+5k2
，
y
2
A
=
20k2
4+5k2
，同理求出点M的横坐标的平方、纵坐标的平方，
计算出AB的平方，计算出|MO|2，可求出三角形面积的平方，使用基本不等式求出面积的最小值，再求出当k不存在
及k=0时三角形的面积，比较可得面积的最小值．
解答：解：（Ⅰ）由题意得
2ab=4
5
ab
a2+b2
=
2
5
3
，又a＞b＞0，解得  a2=5，b2=4．
因此所求椭圆的标准方程为   
x2
5
+
y2
4
=1．
（Ⅱ）（1）假设AB所在的直线斜率存在且不为零，设AB所在直线方程为y=kx（k≠0），A（xA，yA）．
解方程组
x2
5
+
y2
4
=1
y=kx
得
x
2
A
=
20
4+5k2
，
y
2
A
=
20k2
4+5k2
，
所以|OA|2=
x
2
A
+
y
2
A
=
20
4+5k2
+
20k2
4+5k2
=
20(1+k2)
4+5k2
．
设M（x，y），由题意知|MO|=λ|OA|（λ≠0），
所以|MO|2=λ2|OA|2，即x2+y2=λ2
20(1+k2)
4+5k2
，
因为l是AB的垂直平分线，所以直线l的方程为y=-
1
k
x，即k=-
x
y
，
因此x2+y2=λ2
20(1+
x2
y2
)
4+5•
x2
y2
=λ2
20(x2+y2)
4y2+5x2
，
又x2+y2≠0，所以5x2+4y2=20λ2，故
x2
4
+
y2
5
=λ2．
又当k=0或不存在时，上式仍然成立．
综上所述，M的轨迹方程为
x2
4
+
y2
5
=λ2(λ≠0)．
（2）当k存在且k≠0时，由（1）得
x
2
A
=
20
4+5k2
，
y
2
A
=
20k2
4+5k2
，
由
x2
5
+
y2
4
=1
y=-
1
k
x

解得
x
2
M
=
20k2
5+4k2
，
y
2
M
=
20
5+4k2
，
所以|OA|2=
x
2
A
+
y
2
A
=
20(1+k2)
4+5k2
，|AB|2=4|OA|2=
80(1+k2)
4+5k2
，|OM|2=
20(1+k2)
5+4k2
．
由于
S
2
△AMB
=
1
4
|AB|2•|OM|2=
1
4
×
80(1+k2)
4+5k2
×
20(1+k2)
5+4k2
=
400(1+k2)2
(4+5k2)(5+4k2)
≥
400(1+k2)2
(
4+5k2+5+4k2
2
)2
=
1600(1+k2)2
81(1+k2)2
=(
40
9
)2，
当且仅当4+5k2=5+4k2时等号成立，即k=±1时等号成立，
此时△AMB面积的最小值是S△AMB=
40
9
．
当k=0，S△AMB=
1
2
×2
5
×2=2
5
＞
40
9
．
当k不存在时，S△AMB=
1
2
×
5
×4=2
5
＞
40
9
．
综上所述，△AMB的面积的最小值为
40
9
．
点评：本题考查用待定系数法求椭圆的标准方程，参数法求轨迹方程，直线与圆锥曲线的位置关系的应用．
练习册系列答案
相关题目
已知曲线C1：
x=3+2cosθ
y=2+2sinθ
(θ为参数)，曲线C2：
x=1+3t
y=1-4t
（t为参数），则C1与C2的位置关系为
 
．
自选题：已知曲线C1：
x=cosθ
y=sinθ
（θ为参数），曲线C2：
x=
2
2
t-
2
y=
2
2
t
（t为参数）．
（Ⅰ）指出C1，C2各是什么曲线，并说明C1与C2公共点的个数；
（Ⅱ）若把C1，C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线C1′，C2′．写出C1′，C2′的参数方程．C1′与C2′公共点的个数和C与C2公共点的个数是否相同？说明你的理由．
已知曲线C1：
x=5+t
y=2t
（t为参数），C2：
x=2
3
cosθ
y=3sinθ
（θ为参数），点P，Q分别在曲线C1和C2上，求线段|PQ|长度的最小值．
（2012•绵阳二模）已知曲线C1：
x=cosθ
y=sinθ
（θ为参数）和曲线C2=：x2+y2-2
3
x+2y+3=0義于直线l1对称，直线l2过原点且与l1的夹角为30°，则直线l2的方程为（　　）

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